¿Qué es un pórtico o marco plano?
Un marco plano se define como un ensamblaje bidimensional de miembros rectos conectados entre sí mediante conexiones rígidas y/o abisagradas, y sometidos a cargas y reacciones que se encuentran en el plano de la estructura.
Bajo la acción de cargas externas,los miembros de un marco plano pueden estar sujetos a Fuerzas axiales,Momentos de flexión y Fuerzas Cortantes. Pueden poseer hasta 3 grados de libertad por nudo.
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| Imagen 1 : Ejemplo de un marco plano. |
- Método de rigideces:
El método de rigideces obedece a la siguiente ecuación matricial:
[F] = [K][U]
Donde:
[F] : Matriz de fuerzas
[K]: Matriz de rigidez
[U] : Matriz de desplazamientos
- Matriz de rigidez [K]:
De igual manera que para vigas, para el analisis por el método de rigideces en pórticos, se dividirá la estructura en tramos, y se procederá a obtener la matriz de rigidez de cada elemento , para después ensamblar las matrices obtenidas en una sola matriz , llamada Matriz de rigidez global.
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| Imagen 2 : Matriz de rigidez sin efectos de corte para marcos planos. |
Donde:
E : Módulo de elasticidad.
A : Área de la sección.
I : Inercia con respecto al eje "Y".
L : Longitud del tramo.
u₁,u₄ : Deformaciones en el eje "X".
u₂,u₅ : Deformaciones en el eje "Y".
u₃,u₆ : Giros con respecto al eje "Z", en radianes.
La matriz antes mencionada solo considera los efectos por flexión,ya que en la mayoria de los casos, los efectos por corte suelen ser despreciables.
- Matriz de Rotación [A]:
En caso exista elementos inclinados en la estructura,será necesario determinar la matriz de rotación [A] y su matriz transpuesta [A]ᵀ , esto para poder transformar las matrices en coordenadas locales a coordenadas globales y así facilitar la aplicación de la expresión matricial de el método de rigideces.
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| Imagen 3 : Matriz de rotación para marcos planos. |
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| Imagen 4 : Transpuesta de la matriz de rotación para marcos planos. |
-Procedimiento:
1. Se dividirá el marco en tramos , para despues determinar los grados de libertad de la estructura.
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| Imagen 5 : Grados de libertad del marco mostrado en la imagen 1. |
El grado de la Matriz de rigidez global dependerá de los grados de libertad que posea la estructura , en este caso la viga posee 6 grados de libertad por lo cual la Matriz de rigidez global será de 6x6.
2. Como la estructura tiene miembros con diferentes direcciones , se calcularán las matrices de rigidez de cada tramo,en coordenadas locales para despues convertirlas a coordenadas globales.
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| Imagen 6 : Matriz de rigidez en coordenadas locales por tramos para el marco mostrado en la imagen 1. |
Las coordenadas locales del segundo tramo coinciden con las coordenadas globales de la estructura, por lo que no será necesario realizar la conversión para este tramo.
3. Se analizará el marco por tramos y se calculará los Momentos de Empotramiento Perfecto y Fuerzas de fijacion,para poder obtener la Matriz de vectores de fijacion [F⁰] en coordenadas locales.
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| Imagen 7 : Matriz de Vectores de fijación en coordenadas locales por tramos para el marco mostrado en la imagen 1. |
4. Conversión de Coordenadas Locales a Coordenadas Globales, para las matrices de rigidez y vectores de fijación de los elementos inclinados de la estructura.
5. Ensamblaje de la Matriz de rigidez global en coordenadas globales.
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| Imagen 9 : Ensamblaje de Matriz de rigidez de global en coordenadas globales para el marco mostrado en la imagen 1. |
6. Ensamblaje de la Matriz de Vectores de fijación en coordenadas globales.
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| Imagen 10 : Ensamblaje de matriz de vectores de fijación en coordenadas globales para el marco plano mostrado en la imagen 1. |
7. Aplicación de la expresión matricial del método de rigideces.
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| Imagen 10 : Matriz de desplazamientos en coordenadas globales para el marco plano mostrado en la imagen 1. |
8. Obtención de la Matriz desplazamiento para cada tramo de la estructura en coordenadas globales.
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| Imagen 11 : Matriz desplazamiento en coordenadas globales por cada tramo del marco mostrado en la imagen 1. |
9. Proceso de retorno,conversion de las matrices desplazamiento en coordenadas globales a coordenadas locales.
10. Cálculo de reacciones en coordenadas locales para la estructura,
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